数一考研笔记

高数

@wxh · 2026-04-06

极限

常用极限公式

lim_{𝑥 \to 0} sin \frac{𝑥}{𝑥} = 1

lim_{𝑥 \to 0} tan \frac{𝑥}{𝑥} = 1

lim_{𝑥 \to 0} \frac{1 - cos 𝑥}{𝑥^{2}} = \frac{1}{2}

lim_{𝑥 \to 0} arcsin \frac{𝑥}{𝑥} = 1

lim_{𝑥 \to 0} arctan \frac{𝑥}{𝑥} = 1

lim_{𝑥 \to 0} \frac{ln (1 + 𝑥)}{𝑥} = 1

lim_{𝑥 \to 0} \frac{𝑒^{𝑥} - 1}{𝑥} = 1

lim_{𝑥 \to 0} \frac{𝑎^{𝑥} - 1}{𝑥} = ln 𝑎 (𝑎 > 0, 𝑎 \neq 1)

lim_{𝑥 \to 0} \frac{{(1 + 𝑥)}^{𝛼} - 1}{𝑥} = 𝛼

lim_{𝑥 \to 0} {(1 + 𝑥)}^{\frac{1}{𝑥}} = 𝑒

lim_{𝑥 \to \infty} {(1 + \frac{1}{𝑥})}^{𝑥} = 𝑒

lim_{𝑥 \to 0} \frac{sin 𝑥 - 𝑥}{𝑥^{3}} = - \frac{1}{6}

lim_{𝑥 \to 0} \frac{tan 𝑥 - 𝑥}{𝑥^{3}} = \frac{1}{3}

lim_{𝑥 \to 0} \frac{𝑥 - ln (1 + 𝑥)}{𝑥^{2}} = \frac{1}{2}

lim_{𝑥 \to 0} \frac{𝑒^{𝑥} - 1 - 𝑥}{𝑥^{2}} = \frac{1}{2}

导数

微分

积分

多元函数微积分

第一类线积分（对弧长的线积分）

定义

设 $𝐿$ 为 $𝑥 𝑂 𝑦$ 平面上的一条光滑曲线弧， $𝑓 (𝑥, 𝑦)$ 在 $𝐿$ 上有界。将 $𝐿$ 任意分成 $𝑛$ 小段，第 $𝑖$ 段弧长为 $Δ 𝑠_{𝑖}$ ，在其上任取一点 $(𝜉_{𝑖}, 𝜂_{𝑖})$ ，若极限

lim_{𝜆 \to 0} \sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑓 (𝜉_{𝑖}, 𝜂_{𝑖}) Δ 𝑠_{𝑖}

存在（ $𝜆$ 为各小弧段长度的最大值），则称此极限为 $𝑓 (𝑥, 𝑦)$ 在曲线弧 $𝐿$ 上对弧长的线积分，记为

\int_{𝐿} 𝑓 (𝑥, 𝑦) d 𝑠

计算公式

若 $𝐿$ 的参数方程为 $𝑥 = 𝜑 (𝑡), 𝑦 = 𝜓 (𝑡) (𝛼 \leq 𝑡 \leq 𝛽)$ ，则

\int_{𝐿} 𝑓 (𝑥, 𝑦) d 𝑠 = \int_{𝛼}^{𝛽} 𝑓 (𝜑 (𝑡), 𝜓 (𝑡)) \sqrt{𝜑^{' 2} (𝑡) + 𝜓^{' 2} (𝑡)} d 𝑡

提示

性质：第一类线积分与路径方向无关，即

\int_{𝐿} 𝑓 (𝑥, 𝑦) d 𝑠 = \int_{- 𝐿} 𝑓 (𝑥, 𝑦) d 𝑠

第二类线积分（对坐标的线积分）

定义

设 $𝐿$ 为从 $𝐴$ 到 $𝐵$ 的有向光滑曲线弧， $𝑃 (𝑥, 𝑦), 𝑄 (𝑥, 𝑦)$ 在 $𝐿$ 上有界。将 $𝐿$ 任意分成 $𝑛$ 小段，第 $𝑖$ 段在 $𝑥$ 轴和 $𝑦$ 轴上的投影分别为 $Δ 𝑥_{𝑖}, Δ 𝑦_{𝑖}$ ，在其上任取一点 $(𝜉_{𝑖}, 𝜂_{𝑖})$ ，若极限

lim_{𝜆 \to 0} \sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} [𝑃 (𝜉_{𝑖}, 𝜂_{𝑖}) Δ 𝑥_{𝑖} + 𝑄 (𝜉_{𝑖}, 𝜂_{𝑖}) Δ 𝑦_{𝑖}]

存在，则称此极限为 $𝑃, 𝑄$ 在有向曲线弧 $𝐿$ 上对坐标的线积分，记为

\int_{𝐿} 𝑃 (𝑥, 𝑦) d 𝑥 + 𝑄 (𝑥, 𝑦) d 𝑦

计算公式

若 $𝐿$ 的参数方程为 $𝑥 = 𝜑 (𝑡), 𝑦 = 𝜓 (𝑡)$ ，起点对应 $𝑡 = 𝛼$ ，终点对应 $𝑡 = 𝛽$ ，则

\int_{𝐿} 𝑃 d 𝑥 + 𝑄 d 𝑦 = \int_{𝛼}^{𝛽} [𝑃 (𝜑 (𝑡), 𝜓 (𝑡)) 𝜑^{'} (𝑡) + 𝑄 (𝜑 (𝑡), 𝜓 (𝑡)) 𝜓^{'} (𝑡)] d 𝑡

提示

性质：第二类线积分与路径方向有关，即

\int_{𝐿} 𝑃 d 𝑥 + 𝑄 d 𝑦 = - \int_{- 𝐿} 𝑃 d 𝑥 + 𝑄 d 𝑦

格林公式

设 $𝐷$ 为平面上由分段光滑的闭曲线 $𝐿$ 围成的单连通区域， $𝑃 (𝑥, 𝑦), 𝑄 (𝑥, 𝑦)$ 在 $𝐷$ 上有一阶连续偏导数，则

∳_{𝐿} 𝑃 d 𝑥 + 𝑄 d 𝑦 = \iint_{𝐷} (\frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑥} - \frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑦}) d 𝑥 d 𝑦

其中 $𝐿$ 取正方向（逆时针）。

第一类面积分（对面积的面积分）

定义

设 $Σ$ 为空间中的光滑曲面， $𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)$ 在 $Σ$ 上有界。将 $Σ$ 任意分成 $𝑛$ 小块，第 $𝑖$ 块面积为 $Δ 𝑆_{𝑖}$ ，在其上任取一点 $(𝜉_{𝑖}, 𝜂_{𝑖}, 𝜁_{𝑖})$ ，若极限

lim_{𝜆 \to 0} \sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑓 (𝜉_{𝑖}, 𝜂_{𝑖}, 𝜁_{𝑖}) Δ 𝑆_{𝑖}

存在，则称此极限为 $𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)$ 在曲面 $Σ$ 上对面积的面积分，记为

\iint_{Σ} 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑆

计算公式

若曲面 $Σ$ 由 $𝑧 = 𝑧 (𝑥, 𝑦)$ 给出， $(𝑥, 𝑦) \in 𝐷_{𝑥 𝑦}$ ，则

\iint_{Σ} 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑆 = \iint_{𝐷_{𝑥 𝑦}} 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧 (𝑥, 𝑦)) \sqrt{1 + 𝑧_{𝑥}^{2} + 𝑧_{𝑦}^{2}} d 𝑥 d 𝑦

提示

性质：第一类面积分与曲面的侧无关，即

\iint_{Σ} 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑆 = \iint_{- Σ} 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑆

第二类面积分（对坐标的面积分）

定义

设 $Σ$ 为有向光滑曲面， $𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧)$ 在 $Σ$ 上有界。将 $Σ$ 任意分成 $𝑛$ 小块，第 $𝑖$ 小块在 $𝑥 𝑂 𝑦$ 面上的投影为 ${(Δ 𝑆_{𝑖})}_{𝑥 𝑦}$ （带符号，取决于法向量方向），在其上任取一点 $(𝜉_{𝑖}, 𝜂_{𝑖}, 𝜁_{𝑖})$ ，若极限

lim_{𝜆 \to 0} \sum_{𝑖 = 1}^{𝑛} 𝑅 (𝜉_{𝑖}, 𝜂_{𝑖}, 𝜁_{𝑖}) {(Δ 𝑆_{𝑖})}_{𝑥 𝑦}

存在，则称此极限为对坐标的面积分。一般形式记为

\iint_{Σ} 𝑃 d 𝑦 d 𝑧 + 𝑄 d 𝑧 d 𝑥 + 𝑅 d 𝑥 d 𝑦

计算公式

若 $Σ$ 由 $𝑧 = 𝑧 (𝑥, 𝑦)$ 给出， $(𝑥, 𝑦) \in 𝐷_{𝑥 𝑦}$ ，取上侧（法向量朝上），则

\iint_{Σ} 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑥 d 𝑦 = \iint_{𝐷_{𝑥 𝑦}} 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧 (𝑥, 𝑦)) d 𝑥 d 𝑦

取下侧时需添加负号。

提示

性质：第二类面积分与曲面的侧有关，即

\iint_{Σ} 𝑃 d 𝑦 d 𝑧 + 𝑄 d 𝑧 d 𝑥 + 𝑅 d 𝑥 d 𝑦 = - \iint_{- Σ} 𝑃 d 𝑦 d 𝑧 + 𝑄 d 𝑧 d 𝑥 + 𝑅 d 𝑥 d 𝑦

高斯公式

设空间区域 $Ω$ 由分片光滑的闭曲面 $Σ$ 围成， $𝑃, 𝑄, 𝑅$ 在 $Ω$ 上有一阶连续偏导数，则

∯_{Σ} 𝑃 d 𝑦 d 𝑧 + 𝑄 d 𝑧 d 𝑥 + 𝑅 d 𝑥 d 𝑦 = ∭_{Ω} (\frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑥} + \frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑦} + \frac{𝜕 𝑅}{𝜕 𝑧}) d 𝑉

其中 $Σ$ 取外侧。

斯托克斯公式

设 $Σ$ 为分片光滑的有向曲面， $Γ$ 为 $Σ$ 的边界曲线（取与 $Σ$ 的侧相协调的方向）， $𝑃, 𝑄, 𝑅$ 有一阶连续偏导数，则

\oint_{Γ} 𝑃 d 𝑥 + 𝑄 d 𝑦 + 𝑅 d 𝑧 = \iint_{Σ} | \begin{matrix} d 𝑦 d 𝑧 & d 𝑧 d 𝑥 & d 𝑥 d 𝑦 \\ \frac{𝜕}{𝜕 𝑥} & \frac{𝜕}{𝜕 𝑦} & \frac{𝜕}{𝜕 𝑧} \\ 𝑃 & 𝑄 & 𝑅 \end{matrix} |

即

\oint_{Γ} 𝑃 d 𝑥 + 𝑄 d 𝑦 + 𝑅 d 𝑧 = \iint_{Σ} (\frac{𝜕 𝑅}{𝜕 𝑦} - \frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑧}) d 𝑦 d 𝑧 + (\frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑧} - \frac{𝜕 𝑅}{𝜕 𝑥}) d 𝑧 d 𝑥 + (\frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑥} - \frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑦}) d 𝑥 d 𝑦

四类积分对比总结

类型	积分对象	几何/物理意义	方向性	计算核心
第一类线积分	对弧长 $d 𝑠$	曲线上的质量、弧长	无关	$\sqrt{𝑥^{' 2} + 𝑦^{' 2}} d 𝑡$
第二类线积分	对坐标 $d 𝑥, d 𝑦$	力沿曲线做的功	有关（反向变号）	$𝑥^{'} (𝑡) d 𝑡, 𝑦^{'} (𝑡) d 𝑡$
第一类面积分	对面积 $d 𝑆$	曲面的质量、面积	无关	$\sqrt{1 + 𝑧_{𝑥}^{2} + 𝑧_{𝑦}^{2}} d 𝑥 d 𝑦$
第二类面积分	对坐标 $d 𝑥 d 𝑦$	流体通过曲面的通量	有关（翻侧变号）	投影到坐标面

交叉对比与易混淆点辨析

第一类 vs 第二类：核心区别

对比维度	第一类（对弧长/面积）	第二类（对坐标）
积分微元	$d 𝑠$ （标量，弧长）或 $d 𝑆$ （面积）	$d 𝑥, d 𝑦$ （有向投影）
方向性	无关——路径/曲面翻转，值不变	有关——翻转方向/侧，值变号
物理背景	求质量、弧长、面积等“累加量”	求做功、通量等“有方向的累积”
被积函数	通常是标量函数 $𝑓$	通常是向量场的分量 $𝑃, 𝑄, 𝑅$
计算时额外因子	需乘 $\sqrt{\dots}$ （弧长/面积元素）	不需要 $\sqrt{\dots}$ ，直接代入导数

警告

最易混淆的点：

第一类线积分化为定积分后，积分上下限必须 $𝛼 < 𝛽$ （因为 $d 𝑠 > 0$ ）；第二类线积分的上下限由起点→终点决定，可以 $𝛼 > 𝛽$ 。
第一类面积分化为二重积分时要乘 $\sqrt{1 + 𝑧_{𝑥}^{2} + 𝑧_{𝑦}^{2}}$ ；第二类面积分不乘这个因子，但要注意正负侧。

线积分 vs 面积分：维度升级

对比维度	线积分	面积分
积分域	曲线 $𝐿$ （一维）	曲面 $Σ$ （二维）
参数化	一个参数 $𝑡$	两个参数 $(𝑢, 𝑣)$ 或 $𝑧 = 𝑧 (𝑥, 𝑦)$
第一类微元	$d 𝑠 = \sqrt{𝑥^{' 2} + 𝑦^{' 2}} d 𝑡$	$d 𝑆 = \sqrt{1 + 𝑧_{𝑥}^{2} + 𝑧_{𝑦}^{2}} d 𝑥 d 𝑦$
第二类微元	$d 𝑥 = 𝑥^{'} (𝑡) d 𝑡$	$d 𝑥 d 𝑦$ （投影面积元）
联系公式	格林公式（线→面）	高斯公式（面→体）、斯托克斯公式（线→面）

四大公式的联系

注意

格林公式：将 第二类线积分 $\oint_{𝐿} 𝑃 d 𝑥 + 𝑄 d 𝑦$ 转化为 二重积分（平面情形）

斯托克斯公式：将 第二类线积分 $\oint_{Γ} 𝑃 d 𝑥 + 𝑄 d 𝑦 + 𝑅 d 𝑧$ 转化为 第二类面积分（空间情形，格林公式的推广）

高斯公式：将 第二类面积分 $∯_{Σ}$ 转化为 三重积分

典型例题

第一类线积分例题

例1：计算 $\int_{𝐿} (𝑥^{2} + 𝑦^{2}) d 𝑠$ ，其中 $𝐿$ 为圆 $𝑥^{2} + 𝑦^{2} = 𝑎^{2}$ 。

解：参数化： $𝑥 = 𝑎 cos 𝑡, 𝑦 = 𝑎 sin 𝑡, 𝑡 \in [0, 2 𝜋]$

d 𝑠 = \sqrt{{(- 𝑎 sin 𝑡)}^{2} + {(𝑎 cos 𝑡)}^{2}} d 𝑡 = 𝑎 d 𝑡

\int_{𝐿} (𝑥^{2} + 𝑦^{2}) d 𝑠 = \int_{0}^{2 𝜋} 𝑎^{2} \cdot 𝑎 d 𝑡 = 𝑎^{3} \int_{0}^{2 𝜋} d 𝑡 = 2 𝜋 𝑎^{3}

提示

要点：在圆上

𝑥^{2} + 𝑦^{2} = 𝑎^{2}

为常数，可直接提出积分号；

d 𝑠 = 𝑎 d 𝑡

是弧长微元。

例2：计算 $\int_{𝐿} 𝑦 d 𝑠$ ，其中 $𝐿$ 为上半圆 $𝑥^{2} + 𝑦^{2} = 1, 𝑦 \geq 0$ 。

解：参数化： $𝑥 = cos 𝑡, 𝑦 = sin 𝑡, 𝑡 \in [0, 𝜋]$

d 𝑠 = \sqrt{{sin}^{2} 𝑡 + {cos}^{2} 𝑡} d 𝑡 = d 𝑡

\int_{𝐿} 𝑦 d 𝑠 = \int_{0}^{𝜋} sin 𝑡 d 𝑡 = {[- cos 𝑡]}_{0}^{𝜋} = - (- 1) + 1 = 2

例3：计算 $\int_{𝐿} 𝑥 d 𝑠$ ，其中 $𝐿$ 为线段 $𝑦 = 𝑥$ ，从 $(0, 0)$ 到 $(1, 1)$ 。

解：参数化： $𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 𝑡, 𝑡 \in [0, 1]$

d 𝑠 = \sqrt{1 + 1} d 𝑡 = \sqrt{2} d 𝑡

\int_{𝐿} 𝑥 d 𝑠 = \int_{0}^{1} 𝑡 \cdot \sqrt{2} d 𝑡 = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

提示

注意：即使将

𝐿

反向（从

(1, 1)

到

(0, 0)

），结果仍然是

\frac{\sqrt{2}}{2}

——第一类线积分与方向无关。

第二类线积分例题

例1：计算 $\int_{𝐿} 𝑦 d 𝑥 + 𝑥 d 𝑦$ ，其中 $𝐿$ 为从 $(0, 0)$ 到 $(1, 1)$ 的线段 $𝑦 = 𝑥$ 。

解：参数化： $𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 𝑡, 𝑡 : 0 \to 1$

d 𝑥 = d 𝑡, d 𝑦 = d 𝑡

\int_{𝐿} 𝑦 d 𝑥 + 𝑥 d 𝑦 = \int_{0}^{1} (𝑡 \cdot 1 + 𝑡 \cdot 1) d 𝑡 = \int_{0}^{1} 2 𝑡 d 𝑡 = {[𝑡^{2}]}_{0}^{1} = 1

若反向（从 $(1, 1)$ 到 $(0, 0)$ ），参数化 $𝑡 : 1 \to 0$ ：

\int_{- 𝐿} = \int_{1}^{0} 2 𝑡 d 𝑡 = - 1

提示

验证：反向后结果变号，这正是第二类线积分与第一类的本质区别。

例2：用格林公式计算 $\oint_{𝐿} (𝑥^{2} - 𝑦) d 𝑥 + (𝑦^{2} + 𝑥) d 𝑦$ ， $𝐿$ 为单位圆 $𝑥^{2} + 𝑦^{2} = 1$ 逆时针方向。

解：令 $𝑃 = 𝑥^{2} - 𝑦, 𝑄 = 𝑦^{2} + 𝑥$

\frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑥} - \frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑦} = 1 - (- 1) = 2

由格林公式：

\oint_{𝐿} 𝑃 d 𝑥 + 𝑄 d 𝑦 = \iint_{𝐷} 2 d 𝑥 d 𝑦 = 2 \cdot 𝜋 \cdot 1^{2} = 2 𝜋

例3：计算 $\int_{𝐿} 𝑦^{2} d 𝑥$ ，其中 $𝐿$ 为抛物线 $𝑦 = 𝑥^{2}$ 从 $(0, 0)$ 到 $(1, 1)$ 。

解：以 $𝑥$ 为参数： $𝑦 = 𝑥^{2}, d 𝑥 = d 𝑥, 𝑥 : 0 \to 1$

\int_{𝐿} 𝑦^{2} d 𝑥 = \int_{0}^{1} {(𝑥^{2})}^{2} d 𝑥 = \int_{0}^{1} 𝑥^{4} d 𝑥 = {[\frac{𝑥^{5}}{5}]}_{0}^{1} = \frac{1}{5}

第一类面积分例题

例1：计算 $\iint_{Σ} d 𝑆$ ，其中 $Σ$ 为球面 $𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} = 𝑎^{2}$ 的上半部分（ $𝑧 \geq 0$ ）。

解： $𝑧 = \sqrt{𝑎^{2} - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}}$ ，投影域 $𝐷_{𝑥 𝑦} : 𝑥^{2} + 𝑦^{2} \leq 𝑎^{2}$

𝑧_{𝑥} = \frac{- 𝑥}{\sqrt{𝑎^{2} - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}}}, 𝑧_{𝑦} = \frac{- 𝑦}{\sqrt{𝑎^{2} - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}}}

\sqrt{1 + 𝑧_{𝑥}^{2} + 𝑧_{𝑦}^{2}} = \sqrt{1 + \frac{𝑥^{2} + 𝑦^{2}}{𝑎^{2} - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}}} = \frac{𝑎}{\sqrt{𝑎^{2} - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}}}

用极坐标 $𝑥 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃$ ：

\iint_{Σ} d 𝑆 = \int_{0}^{2 𝜋} d 𝜃 \int_{0}^{𝑎} \frac{𝑎}{\sqrt{𝑎^{2} - 𝑟^{2}}} 𝑟 d 𝑟 = 2 𝜋 𝑎 {[- \sqrt{𝑎^{2} - 𝑟^{2}}]}_{0}^{𝑎} = 2 𝜋 𝑎^{2}

提示

验证：半球面面积为

2 𝜋 𝑎^{2}

，全球面面积

4 𝜋 𝑎^{2}

，结果正确。

例2：计算 $\iint_{Σ} 𝑧 d 𝑆$ ，其中 $Σ$ 为锥面 $𝑧 = \sqrt{𝑥^{2} + 𝑦^{2}}, 0 \leq 𝑧 \leq 1$ 。

解： $𝑧 = \sqrt{𝑥^{2} + 𝑦^{2}}$ ，投影域 $𝐷_{𝑥 𝑦} : 𝑥^{2} + 𝑦^{2} \leq 1$

𝑧_{𝑥} = \frac{𝑥}{\sqrt{𝑥^{2} + 𝑦^{2}}}, 𝑧_{𝑦} = \frac{𝑦}{\sqrt{𝑥^{2} + 𝑦^{2}}}

\sqrt{1 + 𝑧_{𝑥}^{2} + 𝑧_{𝑦}^{2}} = \sqrt{1 + \frac{𝑥^{2} + 𝑦^{2}}{𝑥^{2} + 𝑦^{2}}} = \sqrt{2}

\iint_{Σ} 𝑧 d 𝑆 = \iint_{𝐷_{𝑥 𝑦}} \sqrt{𝑥^{2} + 𝑦^{2}} \cdot \sqrt{2} d 𝑥 d 𝑦

极坐标：

= \sqrt{2} \int_{0}^{2 𝜋} d 𝜃 \int_{0}^{1} 𝑟 \cdot 𝑟 d 𝑟 = \sqrt{2} \cdot 2 𝜋 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2 \sqrt{2} 𝜋}{3}

第二类面积分例题

例1：计算 $\iint_{Σ} 𝑥 d 𝑦 d 𝑧 + 𝑦 d 𝑧 d 𝑥 + 𝑧 d 𝑥 d 𝑦$ ，其中 $Σ$ 为球面 $𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} = 1$ 的外侧。

解：用高斯公式。 $𝑃 = 𝑥, 𝑄 = 𝑦, 𝑅 = 𝑧$

\frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑥} + \frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑦} + \frac{𝜕 𝑅}{𝜕 𝑧} = 1 + 1 + 1 = 3

∯_{Σ} 𝑃 d 𝑦 d 𝑧 + 𝑄 d 𝑧 d 𝑥 + 𝑅 d 𝑥 d 𝑦 = ∭_{Ω} 3 d 𝑉 = 3 \cdot \frac{4}{3} 𝜋 = 4 𝜋

提示

要点：高斯公式将复杂的面积分转化为简单的三重积分，是第二类面积分最强大的工具。

例2：计算 $\iint_{Σ} 𝑧^{2} d 𝑥 d 𝑦$ ，其中 $Σ$ 为抛物面 $𝑧 = 𝑥^{2} + 𝑦^{2}$ 的 $0 \leq 𝑧 \leq 1$ 部分，取上侧。

解： $𝑧 = 𝑥^{2} + 𝑦^{2}$ ，投影域 $𝐷_{𝑥 𝑦} : 𝑥^{2} + 𝑦^{2} \leq 1$ ，取上侧（法向量朝上， $cos 𝛾 > 0$ ）

\iint_{Σ} 𝑧^{2} d 𝑥 d 𝑦 = \iint_{𝐷_{𝑥 𝑦}} {(𝑥^{2} + 𝑦^{2})}^{2} d 𝑥 d 𝑦

极坐标：

= \int_{0}^{2 𝜋} d 𝜃 \int_{0}^{1} 𝑟^{4} \cdot 𝑟 d 𝑟 = 2 𝜋 \cdot {[\frac{𝑟^{6}}{6}]}_{0}^{1} = \frac{𝜋}{3}

警告

易错点：如果取下侧，结果为

- \frac{𝜋}{3}

。第二类面积分的正负取决于曲面的侧。

例3：计算 $\iint_{Σ} 𝑥^{2} d 𝑦 d 𝑧$ ，其中 $Σ$ 为平面 $𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1$ 在第一卦限部分，取前侧（法向量指向 $𝑥$ 轴正方向一侧）。

解：将 $Σ$ 投影到 $𝑦 𝑂 𝑧$ 面。由 $𝑥 = 1 - 𝑦 - 𝑧$ ，投影域 $𝐷_{𝑦 𝑧} : 𝑦 \geq 0, 𝑧 \geq 0, 𝑦 + 𝑧 \leq 1$

法向量 $\vec{𝑛} = (1, 1, 1)$ ， $cos 𝛼 > 0$ 对应前侧（取正）。

\iint_{Σ} 𝑥^{2} d 𝑦 d 𝑧 = \iint_{𝐷_{𝑦 𝑧}} {(1 - 𝑦 - 𝑧)}^{2} d 𝑦 d 𝑧

= \int_{0}^{1} d 𝑦 \int_{0}^{1 - 𝑦} {(1 - 𝑦 - 𝑧)}^{2} d 𝑧

令 $𝑢 = 1 - 𝑦 - 𝑧$ ：

= \int_{0}^{1} d 𝑦 {[- \frac{{(1 - 𝑦 - 𝑧)}^{3}}{3}]}_{0}^{1 - 𝑦} = \int_{0}^{1} \frac{{(1 - 𝑦)}^{3}}{3} d 𝑦 = \frac{1}{3} \cdot {[\frac{{(1 - 𝑦)}^{4}}{- 4}]}_{0}^{1} = \frac{1}{12}

做题判断流程

注意

拿到一道积分题，按以下步骤判断类型：

看积分域：是曲线 $𝐿$ → 线积分；是曲面 $Σ$ → 面积分
看微元：是 $d 𝑠$ 或 $d 𝑆$ → 第一类；是 $d 𝑥, d 𝑦$ 或 $d 𝑦 d 𝑧$ 等 → 第二类
看有无方向/侧要求：无方向/侧 → 第一类；有方向/侧 → 第二类
选计算方法：
- 第一类：参数化 + 乘弧长/面积元素 $\sqrt{\dots}$
- 第二类线积分：参数化代入或格林公式
- 第二类面积分：投影法或高斯公式

微元符号全面辨析： $d 𝑠$ 、 $d 𝑆$ 、 $d 𝑉$ 、 $d 𝑥$ 、 $d 𝑥 d 𝑦$ ……

一张表搞清所有微元

符号	名称	维度	几何意义	出现场景
$d 𝑥$	坐标微元	1D	曲线在 $𝑥$ 轴上的有向投影	第二类线积分
$d 𝑠$	弧长微元	1D	曲线的一小段弧长（ $> 0$ ）	第一类线积分
$d 𝑥 d 𝑦$	面积微元	2D	平面区域的一小块面积	二重积分
$d 𝜎$	面积微元	2D	$d 𝑥 d 𝑦$ 的另一种写法	二重积分
$d 𝑆$	曲面面积微元	2D	曲面的一小块面积（ $> 0$ ）	第一类面积分
$d 𝑦 d 𝑧$	坐标面积微元	2D	曲面在 $𝑦 𝑂 𝑧$ 面上的有向投影	第二类面积分
$d 𝑧 d 𝑥$	坐标面积微元	2D	曲面在 $𝑧 𝑂 𝑥$ 面上的有向投影	第二类面积分
$d 𝑥 d 𝑦$ （面积分中）	坐标面积微元	2D	曲面在 $𝑥 𝑂 𝑦$ 面上的有向投影	第二类面积分
$d 𝑉$	体积微元	3D	空间区域的一小块体积	三重积分
$d 𝑥 d 𝑦 d 𝑧$	体积微元	3D	$d 𝑉$ 的直角坐标写法	三重积分

最容易混淆的三组

1. $d 𝑠$ vs $d 𝑥$ （线积分中的两个微元）

	$d 𝑠$ （弧长微元）	$d 𝑥$ （坐标微元）
类型	标量，恒 $\geq 0$	有向，可正可负
几何	曲线的实际长度	曲线在 $𝑥$ 轴的投影
展开式	$\sqrt{𝑥^{' 2} (𝑡) + 𝑦^{' 2} (𝑡)} d 𝑡$	$𝑥^{'} (𝑡) d 𝑡$
方向	与路径方向无关	与路径方向有关
积分号	$\int_{𝐿} 𝑓 d 𝑠$ （第一类）	$\int_{𝐿} 𝑃 d 𝑥$ （第二类）

警告

关键记忆：

d 𝑠

永远是正的（长度不会为负），所以第一类线积分与方向无关；

d 𝑥

是投影，可以为负，所以第二类线积分与方向有关。

2. $d 𝑆$ vs $d 𝑥 d 𝑦$ （面积分中的两个微元）

	$d 𝑆$ （曲面面积微元）	$d 𝑥 d 𝑦$ （坐标面积微元）
类型	标量，恒 $\geq 0$	有向，取决于法向量方向
几何	曲面的实际面积	曲面在 $𝑥 𝑂 𝑦$ 面上的投影面积
展开式	$\sqrt{1 + 𝑧_{𝑥}^{2} + 𝑧_{𝑦}^{2}} d 𝑥 d 𝑦$	$\pm d 𝑥 d 𝑦$ （上侧取 $+$ ，下侧取 $-$ ）
方向	与曲面的侧无关	与曲面的侧有关
积分号	$\iint_{Σ} 𝑓 d 𝑆$ （第一类）	$\iint_{Σ} 𝑅 d 𝑥 d 𝑦$ （第二类）

警告

关键记忆：

d 𝑆

和

d 𝑠

类似——都是“实际大小”，恒正，不关心方向；

d 𝑥 d 𝑦

（面积分中）和

d 𝑥

（线积分中）类似——都是“投影”，有正负，关心方向/侧。

3. 二重积分的 $d 𝑥 d 𝑦$ vs 第二类面积分的 $d 𝑥 d 𝑦$

	二重积分 $\iint_{𝐷} 𝑓 d 𝑥 d 𝑦$	第二类面积分 $\iint_{Σ} 𝑅 d 𝑥 d 𝑦$
积分域	平面区域 $𝐷$ （ $𝑥 𝑂 𝑦$ 平面上的）	曲面 $Σ$ （空间中的）
$d 𝑥 d 𝑦$ 含义	平面上的面积元素	曲面在 $𝑥 𝑂 𝑦$ 面上的有向投影面积
有无方向	无方向—— $d 𝑥 d 𝑦 > 0$	有方向——取决于法向量朝向
被积函数	$𝑓 (𝑥, 𝑦)$ ——只含两个变量	$𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧)$ ——含三个变量，需用曲面方程消去 $𝑧$

警告

最大陷阱：看到 $d 𝑥 d 𝑦$ 不要急着判断是二重积分！一定要看积分域是平面区域 $𝐷$ 还是曲面 $Σ$ 。

$\iint_{𝐷} 𝑓 (𝑥, 𝑦) d 𝑥 d 𝑦$ → 二重积分
$\iint_{Σ} 𝑅 (𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑥 d 𝑦$ → 第二类面积分

$d 𝑠$ 和 $d 𝑆$ 展开公式速查

微元	展开公式
$d 𝑠$ （平面曲线 $𝑦 = 𝑦 (𝑥)$ ）	$\sqrt{1 + 𝑦^{' 2}} d 𝑥$
$d 𝑠$ （参数方程 $𝑥 (𝑡), 𝑦 (𝑡)$ ）	$\sqrt{𝑥^{' 2} (𝑡) + 𝑦^{' 2} (𝑡)} d 𝑡$
$d 𝑠$ （极坐标 $𝑟 = 𝑟 (𝜃)$ ）	$\sqrt{𝑟^{2} + 𝑟^{' 2}} d 𝜃$
$d 𝑠$ （空间曲线 $𝑥 (𝑡), 𝑦 (𝑡), 𝑧 (𝑡)$ ）	$\sqrt{𝑥^{' 2} + 𝑦^{' 2} + 𝑧^{' 2}} d 𝑡$
$d 𝑆$ （ $𝑧 = 𝑧 (𝑥, 𝑦)$ ）	$\sqrt{1 + 𝑧_{𝑥}^{2} + 𝑧_{𝑦}^{2}} d 𝑥 d 𝑦$
$d 𝑆$ （ $𝑥 = 𝑥 (𝑦, 𝑧)$ ）	$\sqrt{1 + 𝑥_{𝑦}^{2} + 𝑥_{𝑧}^{2}} d 𝑦 d 𝑧$
$d 𝑆$ （参数方程 $\vec{𝑟} (𝑢, 𝑣)$ ）	$\| {\vec{𝑟}}_{𝑢} \times {\vec{𝑟}}_{𝑣} \| d 𝑢 d 𝑣$

重积分 vs 线面积分：本质区别

它们在积什么？

积分类型	积分域	在积什么	降维结果
一重积分 $\int$	区间 $[𝑎, 𝑏]$	函数值 $\times$ 长度	一个数
二重积分 $\iint$	平面区域 $𝐷$	函数值 $\times$ 面积	一个数
三重积分 $∭$	空间区域 $Ω$	函数值 $\times$ 体积	一个数
第一类线积分	曲线 $𝐿$	函数值 $\times$ 弧长	一个数
第一类面积分	曲面 $Σ$	函数值 $\times$ 曲面面积	一个数
第二类线积分	有向曲线 $𝐿$	向量场 $\cdot$ 切方向 $\times$ 弧长	一个数
第二类面积分	有向曲面 $Σ$	向量场 $\cdot$ 法方向 $\times$ 面积	一个数

重积分 vs 线面积分的核心区别

对比维度	重积分（二重/三重）	线面积分
积分域形状	填满的区域（面/体）	边界上的曲线/曲面
积分域维度	和微元维度相同	积分域嵌入在更高维空间
例子	$𝐷$ 是平面上一块区域	$𝐿$ 是平面上一条线（比 $𝐷$ 低一维）
类比	求一块板的质量	求一根弯曲铁丝的质量
有无方向	重积分没有方向	第二类线面积分有方向

注意

一句话理解：

重积分：在一个“实心”区域上积分（面积、体积上的累加）
线积分：沿一条“线”上积分（沿曲线的累加）
面积分：在一个“壳”上积分（沿曲面的累加）

它们之间的联系：转化公式

公式	从什么积分	转化为什么积分	条件
格林公式	第二类线积分（沿 $𝜕 𝐷$ ）	二重积分（在 $𝐷$ 上）	平面闭曲线
高斯公式	第二类面积分（沿 $𝜕 Ω$ ）	三重积分（在 $Ω$ 上）	空间闭曲面
斯托克斯公式	第二类线积分（沿 $𝜕 Σ$ ）	第二类面积分（在 $Σ$ 上）	空间曲面及其边界

注意

规律：三大公式的本质都是 边界上的积分 = 内部的积分。

格林公式：线（ $𝜕 𝐷$ 的边界）→ 面（ $𝐷$ 内部）
高斯公式：面（ $𝜕 Ω$ 的边界）→ 体（ $Ω$ 内部）
斯托克斯公式：线（ $𝜕 Σ$ 的边界）→ 面（ $Σ$ 内部）

维度关系： $𝑛 - 1$ 维边界上的积分 $=$ $𝑛$ 维内部的积分。

六种积分全家福

积分	记号	积分域	微元	方向	化简关键
二重积分	$\iint_{𝐷}$	平面区域	$d 𝑥 d 𝑦$	无	选坐标系
三重积分	$∭_{Ω}$	空间区域	$d 𝑥 d 𝑦 d 𝑧$	无	选坐标系/投影
一类线积分	$\int_{𝐿} 𝑓 d 𝑠$	曲线	$d 𝑠$	无	参数化 + $\sqrt{\dots}$
二类线积分	$\int_{𝐿} 𝑃 d 𝑥 + 𝑄 d 𝑦$	有向曲线	$d 𝑥, d 𝑦$	有	参数化 / 格林
一类面积分	$\iint_{Σ} 𝑓 d 𝑆$	曲面	$d 𝑆$	无	投影 + $\sqrt{\dots}$
二类面积分	$\iint_{Σ} 𝑃 d 𝑦 d 𝑧 + \dots$	有向曲面	$d 𝑦 d 𝑧, \dots$	有	投影 / 高斯

深入辨析：十个最常见的困惑

困惑1：第一类线积分和普通定积分有什么区别？

对比	普通定积分 $\int_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 (𝑥) d 𝑥$	第一类线积分 $\int_{𝐿} 𝑓 d 𝑠$
积分域	数轴上的区间 $[𝑎, 𝑏]$	平面/空间中的曲线 $𝐿$
微元	$d 𝑥$ —— $𝑥$ 轴上的一小段	$d 𝑠$ ——曲线的一小段弧长
几何	曲线下的面积	沿曲线的“带状面积”或质量
区别	积分路径是直线（ $𝑥$ 轴）	积分路径是弯曲的

当曲线 $𝐿$ 恰好是 $𝑥$ 轴上的区间 $[𝑎, 𝑏]$ 时， $d 𝑠 = d 𝑥$ ，第一类线积分退化为普通定积分。

提示

关键理解：第一类线积分就是普通定积分的“弯曲版”。把直尺掰弯了，在上面积分，就是第一类线积分。

困惑2：二重积分和第一类面积分有什么区别？

这是最常被混淆的一组！

对比	二重积分 $\iint_{𝐷} 𝑓 d 𝑥 d 𝑦$	第一类面积分 $\iint_{Σ} 𝑓 d 𝑆$
积分域	平面区域 $𝐷$ （躺在 $𝑥 𝑂 𝑦$ 平面上）	空间曲面 $Σ$ （可以弯曲、倾斜）
微元	$d 𝑥 d 𝑦$ ——平面上的小矩形面积	$d 𝑆$ ——曲面上的小块实际面积
被积函数	$𝑓 (𝑥, 𝑦)$ ——两个变量	$𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)$ ——三个变量（在曲面上）
几何意义	曲面 $𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)$ 下的体积	曲面 $Σ$ 上的“质量”（密度 $\times$ 面积）
关系	积分域本身就是坐标面	积分域在空间中弯曲，需要投影到坐标面

警告

核心区别：

二重积分：积分域 $𝐷$ 是平的（在 $𝑥 𝑂 𝑦$ 平面上）， $d 𝑥 d 𝑦$ 就是真正的面积
第一类面积分：积分域 $Σ$ 是弯的（空间曲面）， $d 𝑆 \neq d 𝑥 d 𝑦$ ，而是 $d 𝑆 = \sqrt{1 + 𝑧_{𝑥}^{2} + 𝑧_{𝑦}^{2}} d 𝑥 d 𝑦$

当曲面 $Σ$ 恰好就是 $𝑥 𝑂 𝑦$ 平面上的区域 $𝐷$ （即 $𝑧 = 0$ ）时， $d 𝑆 = d 𝑥 d 𝑦$ ，第一类面积分退化为二重积分。

困惑3：“方向”和“侧”到底是什么？

方向（线积分）：指曲线从哪个端点走到哪个端点。

从 $𝐴$ 走到 $𝐵$ 是正方向 → $\int_{𝐿}$
从 $𝐵$ 走到 $𝐴$ 是反方向 → $\int_{- 𝐿}$

侧（面积分）：指曲面法向量指向哪一边。

法向量朝上（ $cos 𝛾 > 0$ ）→ 上侧
法向量朝下（ $cos 𝛾 < 0$ ）→ 下侧
法向量朝外 → 外侧（闭曲面常用）
法向量朝内 → 内侧

注意

类比：

“方向”就像单行道——从 $𝐴$ 到 $𝐵$ 和从 $𝐵$ 到 $𝐴$ 是不同的
“侧”就像一张纸的正面和反面——翻过来就变了

困惑4：什么时候用 $\int$ 、 $\oint$ 、 $\iint$ 、 $∯$ ？

符号	含义	使用场景
$\int_{𝐿}$	沿曲线 $𝐿$ 的积分（非闭合）	线积分， $𝐿$ 有起点和终点
$\oint_{𝐿}$	沿闭合曲线 $𝐿$ 的积分	线积分， $𝐿$ 是封闭的（起点 $=$ 终点）
$\iint_{𝐷}$ 或 $\iint_{Σ}$	二重积分或面积分（非闭合）	区域/曲面不封闭
$∯_{Σ}$	沿闭合曲面 $Σ$ 的积分	面积分， $Σ$ 是封闭曲面（如球面）

提示

判断方法：看积分域是否“首尾相连”。

曲线：起点 $=$ 终点 → 用 $\oint$
曲面：没有边界（像球面那样封闭）→ 用 $∯$
格林公式和高斯公式要求闭合，所以它们的左边一定有圈 $\oint$ 或 $∯$

困惑5：格林公式、高斯公式、斯托克斯公式分别什么时候用？

公式	空间维度	左边	右边	什么时候用
格林公式	二维平面	$\oint_{𝐿} 𝑃 d 𝑥 + 𝑄 d 𝑦$	$\iint_{𝐷} (𝑄_{𝑥} - 𝑃_{𝑦}) d 𝑥 d 𝑦$	$𝐿$ 是平面闭曲线
高斯公式	三维空间	$∯_{Σ} 𝑃 d 𝑦 d 𝑧 + \dots$	$∭_{Ω} (𝑃_{𝑥} + 𝑄_{𝑦} + 𝑅_{𝑧}) d 𝑉$	$Σ$ 是空间闭曲面
斯托克斯	三维空间	$\oint_{Γ} 𝑃 d 𝑥 + 𝑄 d 𝑦 + 𝑅 d 𝑧$	$\iint_{Σ} \dots d 𝑆$	$Γ$ 是空间闭曲线

注意

速记口诀：

平面闭曲线做功 → 格林
空间闭曲面通量 → 高斯
空间闭曲线做功 → 斯托克斯

共同前提：被积函数 $𝑃, 𝑄, 𝑅$ 在区域内有连续偏导数。如果区域内有奇点（偏导不存在），不能直接用！

困惑6：第一类线积分参数化后，积分上下限怎么确定？

这是一个极易出错的细节。

	第一类线积分	第二类线积分
参数范围	必须 $𝛼 < 𝛽$	由起点→终点决定， $𝛼$ 可以 $>$ $𝛽$
原因	$d 𝑠 > 0$ ，弧长恒正	$d 𝑥$ 有正负，方向决定符号
例子	$𝑡 : 0 \to 2 𝜋$ （不能写 $2 𝜋 \to 0$ ）	若起点对应 $𝑡 = 𝜋$ ，终点对应 $𝑡 = 0$ ，则 $\int_{𝜋}^{0}$

具体例子：沿单位圆从 $(1, 0)$ 顺时针到 $(0, 1)$ ，参数化 $𝑥 = cos 𝑡, 𝑦 = sin 𝑡$ 。

起点 $(1, 0)$ ： $𝑡 = 0$
终点 $(0, 1)$ ： $𝑡 = \frac{𝜋}{2}$
但顺时针方向意味着 $𝑡$ 从 $0$ 减小到 $- 3 \frac{𝜋}{2}$ （或等价地 $𝑡 : 0 \to - 3 \frac{𝜋}{2}$ ）

第一类线积分：不管方向， $\int_{- 3 \frac{𝜋}{2}}^{0} 𝑓 \cdot | \dots | d 𝑡$ （交换上下限使其 $𝛼 < 𝛽$ ）

第二类线积分： $\int_{0}^{- 3 \frac{𝜋}{2}} [𝑃 \cdot (- sin 𝑡) + 𝑄 \cdot cos 𝑡] d 𝑡$ （保持起点→终点的顺序）

警告

记住：

第一类：上下限永远小→大（ $d 𝑠 > 0$ ）
第二类：上下限跟着起点→终点走（ $d 𝑥$ 的正负自动包含了方向信息）

困惑7： $d 𝑆$ 和 $d 𝜎$ 一样吗？

不一样！虽然都是“面积微元”，但用在不同的地方：

符号	出现在	含义
$d 𝜎$ （或 $d 𝑥 d 𝑦$ ）	二重积分	平面区域 $𝐷$ 上的面积元素
$d 𝑆$	第一类面积分	空间曲面 $Σ$ 上的面积元素

d 𝑆 = \sqrt{1 + 𝑧_{𝑥}^{2} + 𝑧_{𝑦}^{2}} d 𝜎

当曲面退化为平面（ $𝑧 = 常数$ ）时， $𝑧_{𝑥} = 𝑧_{𝑦} = 0$ ， $d 𝑆 = d 𝜎$ 。

困惑8：第一类面积分和第二类面积分能互相转化吗？

可以！它们之间有如下关系：

设曲面 $Σ$ 的单位法向量为 $\vec{𝑛} = (cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾)$ ，则

𝑃 d 𝑦 d 𝑧 + 𝑄 d 𝑧 d 𝑥 + 𝑅 d 𝑥 d 𝑦 = (𝑃 cos 𝛼 + 𝑄 cos 𝛽 + 𝑅 cos 𝛾) d 𝑆

即：第二类面积分 $=$ 向量场与法向量的点积 $\times$ 第一类面积分

注意

理解：

第一类面积分：标量函数在曲面上积分（不关心法向量方向）
第二类面积分：向量场在曲面上沿法方向积分（关心法向量方向）
关系： $\iint_{Σ} \vec{𝐹} \cdot d \vec{𝑆} = \iint_{Σ} \vec{𝐹} \cdot \vec{𝑛} d 𝑆$
左边是第二类，右边是第一类！

困惑9：第一类线积分和第二类线积分能互相转化吗？

类似地，设曲线的单位切向量为 $\vec{𝜏} = (cos 𝛼, cos 𝛽)$ ，则

𝑃 d 𝑥 + 𝑄 d 𝑦 = (𝑃 cos 𝛼 + 𝑄 cos 𝛽) d 𝑠

即：第二类线积分 $=$ 向量场与切向量的点积 $\times$ 第一类线积分

注意

统一理解向量场积分：

第二类线积分： $\int_{𝐿} \vec{𝐹} \cdot d \vec{𝑟} = \int_{𝐿} \vec{𝐹} \cdot \vec{𝜏} d 𝑠$ （向量场沿切线方向积分 → 做功）
第二类面积分： $\iint_{Σ} \vec{𝐹} \cdot d \vec{𝑆} = \iint_{Σ} \vec{𝐹} \cdot \vec{𝑛} d 𝑆$ （向量场沿法线方向积分 → 通量）

困惑10：为什么有的题目求出来是负数？

重积分：只要被积函数 $𝑓 \geq 0$ ，结果一定 $\geq 0$
第一类线/面积分：同上， $𝑓 \geq 0$ 则 $\geq 0$ （因为 $d 𝑠, d 𝑆 > 0$ ）
第二类线/面积分：结果可以是负数，这很正常！

注意

物理解释：

第二类线积分是“力做的功”，力和运动方向相反时，功为负
第二类面积分是“流体通量”，流体从内向外流为正，从外向内流为负

如果你算第一类积分（ $d 𝑠$ 或 $d 𝑆$ ）得到了负数，那一定是算错了！

同一道题的不同解法对比

下面这道题用两种方法做，帮你直观感受第一类和第二类的计算差异。

题目：设 $𝐿$ 为从 $(1, 0)$ 到 $(0, 1)$ 的直线段（ $𝑥 + 𝑦 = 1$ ），分别计算：

(a) 第一类线积分： $\int_{𝐿} (𝑥 + 𝑦) d 𝑠$

(b) 第二类线积分： $\int_{𝐿} 𝑦 d 𝑥 + 𝑥 d 𝑦$

解 (a)：参数化 $𝑥 = 1 - 𝑡, 𝑦 = 𝑡, 𝑡 \in [0, 1]$

d 𝑠 = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2}} d 𝑡 = \sqrt{2} d 𝑡

\int_{𝐿} (𝑥 + 𝑦) d 𝑠 = \int_{0}^{1} ((1 - 𝑡) + 𝑡) \sqrt{2} d 𝑡 = \int_{0}^{1} \sqrt{2} d 𝑡 = \sqrt{2}

若反向（从 $(0, 1)$ 到 $(1, 0)$ ），令 $𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 1 - 𝑡, 𝑡 \in [0, 1]$ ：

\int_{- 𝐿} (𝑥 + 𝑦) d 𝑠 = \int_{0}^{1} 1 \cdot \sqrt{2} d 𝑡 = \sqrt{2} （结果不变！）

解 (b)：同样参数化 $𝑥 = 1 - 𝑡, 𝑦 = 𝑡, 𝑡 : 0 \to 1$

d 𝑥 = - d 𝑡, d 𝑦 = d 𝑡

\int_{𝐿} 𝑦 d 𝑥 + 𝑥 d 𝑦 = \int_{0}^{1} [𝑡 \cdot (- 1) + (1 - 𝑡) \cdot 1] d 𝑡 = \int_{0}^{1} (1 - 2 𝑡) d 𝑡 = {[𝑡 - 𝑡^{2}]}_{0}^{1} = 0

若反向（ $𝑡 : 1 \to 0$ ）：

\int_{- 𝐿} = \int_{1}^{0} (1 - 2 𝑡) d 𝑡 = - (\int_{0}^{1} (1 - 2 𝑡) d 𝑡) = 0 (巧了，这道题恰好是 0)

提示

本例的特殊性：

𝑦 d 𝑥 + 𝑥 d 𝑦 = d (𝑥 𝑦)

是全微分，所以第二类线积分只取决于端点值

𝑥 𝑦 |_{𝐴}^{𝐵} = 0 - 0 = 0

，与路径无关。这是与路径无关的线积分的特征。

与路径无关的条件（补充辨析）

并非所有第二类线积分都与路径有关！满足以下条件时，第二类线积分与路径无关：

\frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑦} = \frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑥} (平面情形)

此时 $𝑃 d 𝑥 + 𝑄 d 𝑦$ 是某个函数 $𝑢 (𝑥, 𝑦)$ 的全微分，积分只取决于起点和终点：

\int_{𝐿} 𝑃 d 𝑥 + 𝑄 d 𝑦 = 𝑢 (𝐵) - 𝑢 (𝐴)

警告

注意前提条件：

区域 $𝐷$ 必须是单连通的（没有“洞”）
$𝑃, 𝑄$ 在 $𝐷$ 上有连续偏导数
如果区域有洞（如去掉原点），即使 $\frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑦} = \frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑥}$ ，也可能与路径有关！

经典反例： $𝑃 = - \frac{𝑦}{𝑥^{2} + 𝑦^{2}}, 𝑄 = \frac{𝑥}{𝑥^{2} + 𝑦^{2}}$

验证 $\frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑦} = \frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑥}$ ，但沿原点的单位圆积分 $= 2 𝜋 \neq 0$ 。因为原点是奇点，区域不是单连通的。

考研常考的计算陷阱总结

陷阱	错误做法	正确做法
第一类线积分上下限	按方向写 $\int_{𝛽}^{𝛼}$ （ $𝛽 > 𝛼$ ）	必须 $\int_{𝛼}^{𝛽}$ （ $𝛼 < 𝛽$ ）
第二类线积分忘变号	反向后不加负号	反向结果变号： $\int_{- 𝐿} = - \int_{𝐿}$
第一类面积分漏乘 $\sqrt{\dots}$	$\iint_{Σ} 𝑓 d 𝑆 = \iint_{𝐷} 𝑓 d 𝑥 d 𝑦$	$\iint_{Σ} 𝑓 d 𝑆 = \iint_{𝐷} 𝑓 \sqrt{1 + 𝑧_{𝑥}^{2} + 𝑧_{𝑦}^{2}} d 𝑥 d 𝑦$
第二类面积分多乘 $\sqrt{\dots}$	$\iint_{Σ} 𝑅 d 𝑥 d 𝑦 中乘 \sqrt{\dots}$	第二类不乘 $\sqrt{\dots}$ ，直接代入
第二类面积分忘正负侧	不看法向量方向	上侧取 $+$ ，下侧取 $-$ （或外侧 $+$ ，内侧 $-$ ）
格林公式忘检查连通性	有奇点也直接用格林公式	先检查区域是否单连通，有奇点需挖洞处理
高斯公式忘检查闭合	开曲面直接用高斯公式	先补面使其闭合，再减去补面的贡献
混淆 $d 𝜎$ 和 $d 𝑆$	在面积分中用 $d 𝜎$	$d 𝜎$ 用于二重积分， $d 𝑆$ 用于第一类面积分

实战训练：看到题目，三秒判断用什么方法

方法选择速判（只判断方法，不计算）

题1： $\int_{𝐿} 𝑥^{2} d 𝑠$ ， $𝐿$ 为圆 $𝑥^{2} + 𝑦^{2} = 4$ 。

提示

判断：微元是

d 𝑠

→ 第一类线积分 → 参数化 + 乘

\sqrt{𝑥^{' 2} + 𝑦^{' 2}}

题2： $\int_{𝐿} 𝑥 d 𝑦 - 𝑦 d 𝑥$ ， $𝐿$ 为从 $(0, 0)$ 到 $(1, 1)$ 。

提示

判断：微元是

d 𝑥, d 𝑦

→ 第二类线积分 → 参数化代入（非闭合，不用格林）

题3： $\oint_{𝐿} (2 𝑥 - 𝑦) d 𝑥 + (𝑥 + 3 𝑦) d 𝑦$ ， $𝐿$ 为正方形边界逆时针。

提示

判断：

\oint

（闭合）+

d 𝑥, d 𝑦

→ 第二类线积分 → 优先用格林公式

题4： $\iint_{𝐷} (𝑥^{2} + 𝑦^{2}) d 𝑥 d 𝑦$ ， $𝐷 : 𝑥^{2} + 𝑦^{2} \leq 1$ 。

提示

判断：积分域是平面区域

𝐷

→ 二重积分 → 极坐标

题5： $\iint_{Σ} (𝑥^{2} + 𝑦^{2}) d 𝑆$ ， $Σ$ 为球面 $𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} = 1$ 。

提示

判断：积分域是曲面

Σ

，微元

d 𝑆

→ 第一类面积分 → 投影 + 乘

\sqrt{1 + 𝑧_{𝑥}^{2} + 𝑧_{𝑦}^{2}}

题6： $\iint_{Σ} 𝑥 d 𝑦 d 𝑧 + 𝑦 d 𝑧 d 𝑥 + 𝑧 d 𝑥 d 𝑦$ ， $Σ$ 为球面外侧。

提示

判断：

d 𝑦 d 𝑧

等坐标微元 → 第二类面积分 → 闭曲面 → 优先用高斯公式

题7： $∭_{Ω} (𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2}) d 𝑉$ ， $Ω$ 为球体 $𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} \leq 𝑎^{2}$ 。

提示

判断：积分域是空间区域

Ω

→ 三重积分 → 球坐标

题8： $\iint_{Σ} 𝑧 d 𝑥 d 𝑦$ ， $Σ$ 为 $𝑧 = 𝑥^{2} + 𝑦^{2}$ ， $0 \leq 𝑧 \leq 1$ ，取上侧。

提示

判断：坐标微元

d 𝑥 d 𝑦

+ 曲面

Σ

→ 第二类面积分 → 非闭合 → 投影法（注意上侧取正）

题9： $\oint_{Γ} 𝑦 d 𝑥 + 𝑧 d 𝑦 + 𝑥 d 𝑧$ ， $Γ$ 为空间闭曲线。

提示

判断：空间闭曲线 +

d 𝑥, d 𝑦, d 𝑧

→ 第二类线积分 → 用斯托克斯公式

题10： $\int_{𝐿} \sqrt{𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2}} d 𝑠$ ， $𝐿$ 为空间螺旋线。

提示

判断：

d 𝑠

→ 第一类线积分（三维） → 参数化 +

\sqrt{𝑥^{' 2} + 𝑦^{' 2} + 𝑧^{' 2}} d 𝑡

易混淆对比组：相似题目，不同方法

对比组 A：同一条曲线， $d 𝑠$ vs $d 𝑥$

题 A1： $\int_{𝐿} 𝑦 d 𝑠$ ， $𝐿$ 为 $𝑦 = 𝑥^{2}$ ， $0 \leq 𝑥 \leq 1$ 。

解：第一类线积分。 $d 𝑠 = \sqrt{1 + {(2 𝑥)}^{2}} d 𝑥 = \sqrt{1 + 4 𝑥^{2}} d 𝑥$

\int_{𝐿} 𝑦 d 𝑠 = \int_{0}^{1} 𝑥^{2} \sqrt{1 + 4 𝑥^{2}} d 𝑥

令 $𝑥 = \frac{1}{2} tan 𝜃$ ： $= \frac{1}{8} \int_{0}^{arctan 2} {tan}^{2} 𝜃 {sec}^{3} 𝜃 d 𝜃$ （计算较复杂，此处重点在于方法选择）

题 A2： $\int_{𝐿} 𝑦 d 𝑥$ ， $𝐿$ 为 $𝑦 = 𝑥^{2}$ ，从 $(0, 0)$ 到 $(1, 1)$ 。

解：第二类线积分。不需要乘 $\sqrt{1 + 4 𝑥^{2}}$ ，直接代入：

\int_{𝐿} 𝑦 d 𝑥 = \int_{0}^{1} 𝑥^{2} d 𝑥 = \frac{1}{3}

警告

对比：同样的曲线 $𝑦 = 𝑥^{2}$ ，同样的被积函数 $𝑦$ ：

$\int 𝑦 d 𝑠$ ：要乘 $\sqrt{1 + 4 𝑥^{2}}$ ，计算复杂
$\int 𝑦 d 𝑥$ ：不乘，直接代入，计算简单
区别就在于微元是 $d 𝑠$ （弧长）还是 $d 𝑥$ （坐标投影）

对比组 B：同一个曲面， $d 𝑆$ vs $d 𝑥 d 𝑦$

题 B1： $\iint_{Σ} 𝑧 d 𝑆$ ， $Σ : 𝑧 = \sqrt{1 - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}}$ （上半球面）。

解：第一类面积分。 $𝑧_{𝑥} = - \frac{𝑥}{\sqrt{1 - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}}}$ ， $𝑧_{𝑦} = - \frac{𝑦}{\sqrt{1 - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}}}$

\sqrt{1 + 𝑧_{𝑥}^{2} + 𝑧_{𝑦}^{2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}}}

\iint_{Σ} 𝑧 d 𝑆 = \iint_{𝐷} \sqrt{1 - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}}} d 𝑥 d 𝑦 = \iint_{𝐷} d 𝑥 d 𝑦 = 𝜋

题 B2： $\iint_{Σ} 𝑧 d 𝑥 d 𝑦$ ， $Σ : 𝑧 = \sqrt{1 - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}}$ ，取上侧。

解：第二类面积分。不乘 $\sqrt{\dots}$ ，上侧取正：

\iint_{Σ} 𝑧 d 𝑥 d 𝑦 = \iint_{𝐷} \sqrt{1 - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}} d 𝑥 d 𝑦

极坐标： $= \int_{0}^{2 𝜋} d 𝜃 \int_{0}^{1} \sqrt{1 - 𝑟^{2}} 𝑟 d 𝑟 = 2 𝜋 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2 𝜋}{3}$

警告

对比：

$\iint 𝑧 d 𝑆 = 𝜋$ （乘了 $\frac{1}{\sqrt{\dots}}$ ，恰好和 $𝑧$ 中的 $\sqrt{\dots}$ 抵消了）
$\iint 𝑧 d 𝑥 d 𝑦 = \frac{2 𝜋}{3}$ （直接代入，不乘额外因子）
结果不同！因为 $d 𝑆 \neq d 𝑥 d 𝑦$

对比组 C：闭合 vs 非闭合，该不该用公式

题 C1： $\oint_{𝐿} 𝑦^{2} d 𝑥 + 𝑥^{2} d 𝑦$ ， $𝐿$ 为单位圆逆时针。

解：闭合 → 用格林公式。 $𝑃 = 𝑦^{2}, 𝑄 = 𝑥^{2}$

\frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑥} - \frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑦} = 2 𝑥 - 2 𝑦

\oint_{𝐿} = \iint_{𝐷} (2 𝑥 - 2 𝑦) d 𝑥 d 𝑦

利用对称性： $𝐷$ 关于 $𝑥, 𝑦$ 都对称， $2 𝑥$ 和 $- 2 𝑦$ 都是奇函数 → $= 0$

题 C2： $\int_{𝐿} 𝑦^{2} d 𝑥 + 𝑥^{2} d 𝑦$ ， $𝐿$ 为从 $(1, 0)$ 到 $(0, 1)$ 的上半圆弧。

解：非闭合，不能直接用格林公式。

方法1（直接参数化）： $𝑥 = cos 𝑡, 𝑦 = sin 𝑡, 𝑡 : 0 \to \frac{𝜋}{2}$

= \int_{0}^{\frac{𝜋}{2}} [{sin}^{2} 𝑡 (- sin 𝑡) + {cos}^{2} 𝑡 (cos 𝑡)] d 𝑡 = \int_{0}^{\frac{𝜋}{2}} ({cos}^{3} 𝑡 - {sin}^{3} 𝑡) d 𝑡 = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0

方法2（补线用格林）：补一条从 $(0, 1)$ 到 $(1, 0)$ 的直线段 $𝐿_{1}$ ，使 $𝐿 + 𝐿_{1}$ 闭合，再用格林公式减去 $𝐿_{1}$ 的贡献。

提示

选择标准：

闭合曲线/曲面 → 优先考虑格林/高斯/斯托克斯
非闭合 → 直接参数化，或补线/补面使其闭合再用公式

对比组 D：二重积分 vs 第一类面积分

题 D1：求 $\iint_{𝐷} \sqrt{1 - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}} d 𝑥 d 𝑦$ ， $𝐷 : 𝑥^{2} + 𝑦^{2} \leq 1$ 。

解：二重积分。积分域是平面圆盘 $𝐷$ 。

极坐标： $= \int_{0}^{2 𝜋} d 𝜃 \int_{0}^{1} \sqrt{1 - 𝑟^{2}} 𝑟 d 𝑟 = 2 𝜋 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2 𝜋}{3}$

几何意义：上半球面 $𝑧 = \sqrt{1 - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}}$ 下方的体积（半球体积 $= \frac{2 𝜋}{3}$ ）。

题 D2：求上半球面 $Σ : 𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} = 1, 𝑧 \geq 0$ 的面积。

解：第一类面积分： $\iint_{Σ} 1 d 𝑆$ 。

= \iint_{𝐷} \frac{1}{\sqrt{1 - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}}} d 𝑥 d 𝑦 = \int_{0}^{2 𝜋} d 𝜃 \int_{0}^{1} \frac{𝑟}{\sqrt{1 - 𝑟^{2}}} d 𝑟 = 2 𝜋

警告

对比：

题 D1： $\iint_{𝐷} \sqrt{1 - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}} d 𝑥 d 𝑦 = \frac{2 𝜋}{3}$ （求体积，不乘 $\sqrt{\dots}$ ）
题 D2： $\iint_{Σ} d 𝑆 = \iint_{𝐷} \frac{1}{\sqrt{\dots}} d 𝑥 d 𝑦 = 2 𝜋$ （求面积，要乘 $\sqrt{\dots}$ ）
被积函数变了！ $d 𝑆 = \sqrt{\dots} d 𝑥 d 𝑦$ 中的 $\sqrt{\dots}$ 是面积元素的一部分

对比组 E：格林公式 vs 直接算

题 E1： $\oint_{𝐿} (𝑥 + 𝑦) d 𝑥 + (𝑥 - 𝑦) d 𝑦$ ， $𝐿$ 为 $𝑥^{2} + 𝑦^{2} = 4$ 逆时针。

解：格林公式。 $\frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑥} - \frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑦} = 1 - 1 = 0$ → $\oint_{𝐿} = 0$

格林公式一步搞定！如果直接参数化，要算 $\int_{0}^{2 𝜋} [\dots]$ 一大堆三角函数。

题 E2： $\int_{𝐿} (𝑥 + 𝑦) d 𝑥 + (𝑥 - 𝑦) d 𝑦$ ， $𝐿$ 为从 $(2, 0)$ 到 $(0, 2)$ 的圆弧。

解： $\frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑥} - \frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑦} = 0$ → 积分与路径无关！

所以换成沿直线 $𝑥 + 𝑦 = 2$ （从 $(2, 0)$ 到 $(0, 2)$ ）： $𝑥 = 2 - 𝑡, 𝑦 = 𝑡, 𝑡 : 0 \to 2$

= \int_{0}^{2} [(2 - 𝑡 + 𝑡) (- 1) + (2 - 𝑡 - 𝑡) (1)] d 𝑡 = \int_{0}^{2} (- 2 + 2 - 2 𝑡) d 𝑡 = \int_{0}^{2} (- 2 𝑡) d 𝑡 = - 4

提示

要点：先检查 $\frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑥} - \frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑦}$ 。若为 $0$ 且区域单连通：

闭合 → 直接 $= 0$
非闭合 → 换一条最简单的路径算（通常选直线段）

对比组 F：高斯公式 vs 投影法

题 F1： $∯_{Σ} 𝑥^{2} d 𝑦 d 𝑧 + 𝑦^{2} d 𝑧 d 𝑥 + 𝑧^{2} d 𝑥 d 𝑦$ ， $Σ$ 为球面 $𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} = 𝑎^{2}$ 外侧。

解：闭曲面 → 高斯公式。

\frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑥} + \frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑦} + \frac{𝜕 𝑅}{𝜕 𝑧} = 2 𝑥 + 2 𝑦 + 2 𝑧

∯_{Σ} = ∭_{Ω} (2 𝑥 + 2 𝑦 + 2 𝑧) d 𝑉

对称性： $∭_{Ω} 𝑥 d 𝑉 = ∭_{Ω} 𝑦 d 𝑉 = ∭_{Ω} 𝑧 d 𝑉 = 0$ （奇函数在对称域上积分为 $0$ ）

= 0

题 F2： $\iint_{Σ} 𝑧^{2} d 𝑥 d 𝑦$ ， $Σ$ 为半球面 $𝑧 = \sqrt{𝑎^{2} - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}}$ ，取上侧。

解：非闭合，不能直接用高斯。用投影法：

= \iint_{𝐷} (𝑎^{2} - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}) d 𝑥 d 𝑦 (𝐷 : 𝑥^{2} + 𝑦^{2} \leq 𝑎^{2}, 上侧取正)

极坐标： $= \int_{0}^{2 𝜋} d 𝜃 \int_{0}^{𝑎} (𝑎^{2} - 𝑟^{2}) 𝑟 d 𝑟 = 2 𝜋 {[𝑎^{2} \frac{𝑟^{2}}{2} - \frac{𝑟^{4}}{4}]}_{0}^{𝑎} = 𝜋 \frac{𝑎^{4}}{2}$

也可以补底面 $Σ_{1} : 𝑧 = 0, 𝑥^{2} + 𝑦^{2} \leq 𝑎^{2}$ 取下侧，用高斯公式：

$∯_{Σ + Σ_{1}} = ∭_{Ω} 2 𝑧 d 𝑉$ ，再减去 $Σ_{1}$ 上的贡献（ $𝑧 = 0$ → 贡献为 $0$ ）。

对比组 G： $\iint_{Σ} 𝑓 d 𝑆$ 中利用对称性

题 G1： $\iint_{Σ} 𝑥^{2} d 𝑆$ ， $Σ$ 为球面 $𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} = 𝑎^{2}$ 。

解：球面关于 $𝑥, 𝑦, 𝑧$ 完全对称，所以

\iint_{Σ} 𝑥^{2} d 𝑆 = \iint_{Σ} 𝑦^{2} d 𝑆 = \iint_{Σ} 𝑧^{2} d 𝑆

三者相加： $\iint_{Σ} (𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2}) d 𝑆 = 𝑎^{2} \iint_{Σ} d 𝑆 = 𝑎^{2} \cdot 4 𝜋 𝑎^{2} = 4 𝜋 𝑎^{4}$

所以 $\iint_{Σ} 𝑥^{2} d 𝑆 = \frac{4 𝜋 𝑎^{4}}{3}$

提示

对称性技巧：球面上

𝑥^{2} = 𝑦^{2} = 𝑧^{2} = \frac{1}{3} (𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2})

，锥面/柱面等轴对称曲面上

𝑥^{2} = 𝑦^{2}

。第一类积分可以大量使用对称性！

题 G2： $\iint_{Σ} 𝑥^{2} d 𝑦 d 𝑧$ ， $Σ$ 为球面 $𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} = 𝑎^{2}$ 外侧。

解：第二类面积分。能用对称性吗？

\iint_{Σ} 𝑥^{2} d 𝑦 d 𝑧 = \iint_{Σ} 𝑦^{2} d 𝑧 d 𝑥 = \iint_{Σ} 𝑧^{2} d 𝑥 d 𝑦 (轮换对称性)

三者相加 $= ∯_{Σ} (𝑥^{2} d 𝑦 d 𝑧 + 𝑦^{2} d 𝑧 d 𝑥 + 𝑧^{2} d 𝑥 d 𝑦)$ ，就是题 F1 的结果 $= 0$ 。

所以 $\iint_{Σ} 𝑥^{2} d 𝑦 d 𝑧 = 0$ 。

警告

注意：第二类面积分的对称性和第一类不同！第一类利用

𝑥^{2} d 𝑆 = 𝑦^{2} d 𝑆

，第二类利用轮换对称

𝑥^{2} d 𝑦 d 𝑧 = 𝑦^{2} d 𝑧 d 𝑥

（坐标也要一起轮换）。

对比组 H：奇点处理

题 H1： $\oint_{𝐿} \frac{- 𝑦 d 𝑥 + 𝑥 d 𝑦}{𝑥^{2} + 𝑦^{2}}$ ， $𝐿$ 为单位圆逆时针。

解： $𝑃 = - \frac{𝑦}{𝑥^{2} + 𝑦^{2}}, 𝑄 = \frac{𝑥}{𝑥^{2} + 𝑦^{2}}$ 。

验证 $\frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑥} - \frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑦} = 0$ （在 $(0, 0)$ 以外成立），但原点是奇点！

原点在 $𝐿$ 内部 → 不能直接用格林公式说结果为 $0$ 。

直接参数化： $𝑥 = cos 𝑡, 𝑦 = sin 𝑡, 𝑡 \in [0, 2 𝜋]$

= \int_{0}^{2 𝜋} \frac{(- sin 𝑡) (- sin 𝑡) + (cos 𝑡) (cos 𝑡)}{1} d 𝑡 = \int_{0}^{2 𝜋} 1 d 𝑡 = 2 𝜋

题 H2： $\oint_{𝐿} \frac{- 𝑦 d 𝑥 + 𝑥 d 𝑦}{𝑥^{2} + 𝑦^{2}}$ ， $𝐿$ 为 ${(𝑥 - 3)}^{2} + 𝑦^{2} = 1$ 逆时针。

解：同样的被积函数，但 $𝐿$ 围的区域不包含原点 → 区域内 $\frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑥} = \frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑦}$ 处处成立 → 可以用格林公式。

\oint_{𝐿} = \iint_{𝐷} 0 d 𝑥 d 𝑦 = 0

警告

同样的被积函数，不同的结果！关键在于奇点是否在积分域内部：

奇点在里面 → 不能用格林公式，必须直接算或挖洞
奇点在外面 → 可以用格林公式， $= 0$

对比组 I：补面技巧

题 I1： $\iint_{Σ} 𝑥 d 𝑦 d 𝑧 + 𝑦 d 𝑧 d 𝑥 + 𝑧^{2} d 𝑥 d 𝑦$ ， $Σ$ 为 $𝑧 = \sqrt{1 - 𝑥^{2} - 𝑦^{2}}$ （上半球面），取上侧。

解：非闭合 → 补底面 $Σ_{1} : 𝑧 = 0, 𝑥^{2} + 𝑦^{2} \leq 1$ （取下侧，即法向量朝 $𝑧$ 轴负方向）。

$Σ + Σ_{1}$ 构成闭曲面，用高斯公式：

\frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑥} + \frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑦} + \frac{𝜕 𝑅}{𝜕 𝑧} = 1 + 1 + 2 𝑧 = 2 + 2 𝑧

∯_{Σ + Σ_{1}} = ∭_{Ω} (2 + 2 𝑧) d 𝑉

$Ω$ 为上半球体。 $∭_{Ω} 2 d 𝑉 = 2 \cdot \frac{2}{3} 𝜋 = \frac{4 𝜋}{3}$

$∭_{Ω} 2 𝑧 d 𝑉$ ：球坐标 $= 2 \int_{0}^{2 𝜋} d 𝜑 \int_{0}^{\frac{𝜋}{2}} \int_{0}^{1} 𝑟 cos 𝜃 \cdot 𝑟^{2} sin 𝜃 d 𝑟 d 𝜃 d 𝜑 = 2 \cdot 2 𝜋 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{𝜋}{2}$

$∯ = \frac{4 𝜋}{3} + \frac{𝜋}{2} = \frac{11 𝜋}{6}$

再算 $Σ_{1}$ 上的贡献： $𝑧 = 0$ ，法向量朝下（ $cos 𝛾 < 0$ ），取下侧。

$\iint_{Σ_{1}} 𝑥 d 𝑦 d 𝑧 + 𝑦 d 𝑧 d 𝑥 + 𝑧^{2} d 𝑥 d 𝑦$

$Σ_{1}$ 垂直于 $𝑧$ 轴 → $d 𝑦 d 𝑧 = 0, d 𝑧 d 𝑥 = 0$ （投影到 $𝑦 𝑂 𝑧$ 面和 $𝑧 𝑂 𝑥$ 面为 $0$ ）， $𝑧^{2} = 0$

所以 $\iint_{Σ_{1}} = 0$

最终 $\iint_{Σ} = \frac{11 𝜋}{6} - 0 = \frac{11 𝜋}{6}$

提示

补面做题套路：

补一个面使曲面闭合
用高斯公式算闭曲面的积分
再单独算补面的积分
原面积分 $=$ 闭曲面积分 $-$ 补面积分

方法选择决策树总结

注意

第一步：判断积分类型

积分域是平面区域 $𝐷$ → 二重积分
积分域是空间区域 $Ω$ → 三重积分
积分域是曲线 $𝐿$ ，微元 $d 𝑠$ → 第一类线积分
积分域是曲线 $𝐿$ ，微元 $d 𝑥, d 𝑦$ → 第二类线积分
积分域是曲面 $Σ$ ，微元 $d 𝑆$ → 第一类面积分
积分域是曲面 $Σ$ ，微元 $d 𝑦 d 𝑧$ 等 → 第二类面积分

第二步：选计算策略

第一类线积分 → 参数化，乘 $\sqrt{𝑥^{' 2} + 𝑦^{' 2}}$
第二类线积分：
- 闭合 + 平面 → 格林公式
- 闭合 + 空间 → 斯托克斯公式
- $\frac{𝜕 𝑃}{𝜕 𝑦} = \frac{𝜕 𝑄}{𝜕 𝑥}$ → 与路径无关，换简单路径或用端点值
- 其他 → 直接参数化
第一类面积分 → 投影，乘 $\sqrt{1 + 𝑧_{𝑥}^{2} + 𝑧_{𝑦}^{2}}$ ，积极利用对称性
第二类面积分：
- 闭合 → 高斯公式
- 非闭合 → 投影法，或补面后用高斯
二重/三重积分 → 选合适坐标系（极坐标/柱坐标/球坐标）

第三步：检查

第一类：结果应 $\geq 0$ （当 $𝑓 \geq 0$ 时）
第二类：结果可正可负，检查方向/侧是否正确
用公式前检查：闭合？单连通？无奇点？

高数

极限

常用极限公式

导数

微分

积分

多元函数微积分

第一类线积分（对弧长的线积分）

定义

计算公式

第二类线积分（对坐标的线积分）

定义

计算公式

格林公式

第一类面积分（对面积的面积分）

定义

计算公式

第二类面积分（对坐标的面积分）

定义

计算公式

高斯公式

斯托克斯公式

四类积分对比总结

交叉对比与易混淆点辨析

第一类 vs 第二类：核心区别

线积分 vs 面积分：维度升级

四大公式的联系

典型例题

第一类线积分例题

第二类线积分例题

第一类面积分例题

第二类面积分例题

做题判断流程

微元符号全面辨析：d𝑠、d𝑆、d𝑉、d𝑥、d𝑥d𝑦……

一张表搞清所有微元

最容易混淆的三组

d𝑠 和 d𝑆 展开公式速查

重积分 vs 线面积分：本质区别

它们在积什么？

重积分 vs 线面积分的核心区别

它们之间的联系：转化公式

六种积分全家福

深入辨析：十个最常见的困惑

困惑1：第一类线积分和普通定积分有什么区别？

困惑2：二重积分和第一类面积分有什么区别？

困惑3：“方向”和“侧”到底是什么？

困惑4：什么时候用 ∫、∮、∬、∯？

困惑5：格林公式、高斯公式、斯托克斯公式分别什么时候用？

困惑6：第一类线积分参数化后，积分上下限怎么确定？

困惑7：d𝑆 和 d𝜎 一样吗？

困惑8：第一类面积分和第二类面积分能互相转化吗？

困惑9：第一类线积分和第二类线积分能互相转化吗？

困惑10：为什么有的题目求出来是负数？

同一道题的不同解法对比

与路径无关的条件（补充辨析）

考研常考的计算陷阱总结

实战训练：看到题目，三秒判断用什么方法

方法选择速判（只判断方法，不计算）

易混淆对比组：相似题目，不同方法

对比组 A：同一条曲线，d𝑠 vs d𝑥

对比组 B：同一个曲面，d𝑆 vs d𝑥d𝑦

对比组 C：闭合 vs 非闭合，该不该用公式

对比组 D：二重积分 vs 第一类面积分

对比组 E：格林公式 vs 直接算

对比组 F：高斯公式 vs 投影法

对比组 G：∬Σ𝑓d𝑆 中利用对称性

对比组 H：奇点处理

对比组 I：补面技巧

方法选择决策树总结

无穷级数

常微分方程

微元符号全面辨析： $d 𝑠$ 、 $d 𝑆$ 、 $d 𝑉$ 、 $d 𝑥$ 、 $d 𝑥 d 𝑦$ ……

$d 𝑠$ 和 $d 𝑆$ 展开公式速查

困惑4：什么时候用 $\int$ 、 $\oint$ 、 $\iint$ 、 $∯$ ？

困惑7： $d 𝑆$ 和 $d 𝜎$ 一样吗？

对比组 A：同一条曲线， $d 𝑠$ vs $d 𝑥$

对比组 B：同一个曲面， $d 𝑆$ vs $d 𝑥 d 𝑦$

对比组 G： $\iint_{Σ} 𝑓 d 𝑆$ 中利用对称性